师：同学们好，本节课给大家复习机械人这一单元，主要讲三个内容。第一个是基本概念，包含功率、动能、势能、机械能、力等。第二个是功能关系，主要讨论重力做功与重力势能的变化关系、弹力做功与弹性势能变化关系、合外力做功与动能变化关系、外力做功与机械能变化关系。第三个是能量守恒，主要探讨机械能守恒的三个不同表达形式。下面我们首先复习基本概念——功，请大家按下暂停键看例题一。关于功的概念，我们先思考一个问题：如何理解功的概念？功的定义式怎样表示？在运用功的定义式求功时，应注意哪四项？一个力对物体做功有两个必不可少的因素，一是力，二是物体在力的方向上通过的位移。计算功时，功的大小表示能量转化的量，功的正负表示能量转化的方向。所以在使用功的定义进行功的计算时，要特别注意功当中的几个参量。下面我们来回答第一个问题。

　　我们先对小球进行受力分析，它受到重力、绳子的拉力和外力。由于这个力$f$是恒力，所以我们可以根据功的定义式求出这个力$f$所做的功。物体从$p$点移到$q$点，它在力的方向上的位移是$x$，等于$AR \times \sin\theta$，根据功的公式就能直接得到恒力$f$所做的功。这里要注意，这个公式只适用于恒力做功。好，我们再来看思考第二个问题，在水平力作用下，小球从$p$点缓慢移到$q$点，求此过程中拉力所做的功。此时小球缓慢移动，在这三个力作用下，合外力始终为$0$，即小球始终处于平衡状态。所以我们可以根据力的合成求出拉力$f$，结果发现这个拉力$f$等于$mg \times \tan\theta$。也就是说这个力不是恒力，随着$\theta$角的增大，$f$力也在增大。由此可知，用功的定义式直接求$f$拉力所做的功已不适用，那么根据所学知识，我们可以利用动能定理求解。因为物体缓慢移动，在此过程中只有重力和拉力做功，且动能的变化量为$0$。所以拉力所做的功与重力所做的功数值上相等，此过程中重力所做的功可以用相应公式表示，进而得到拉力所做的功的表达式。

　　好，下面我们来看第三个问题，如果小球在外力作用下缓慢地从$p$点移到$q$点，求小球所受合力做的功。由于合力为$0$，所以合力做的功也是$0$。下面我们根据例一总结一下关于功的概念及在求力做功时应注意的几点。求力做功时，要明确是求某一个力做功还是求合力做功，是求恒力做功还是求变力做功。恒力做功与物体的路径无关，等于力和物体在力的方向上位移的乘积。但如果求变力做功，就只能用其他方法，比如平均值法、图像法、功率法、动能定理求解以及能量守恒等方法。

　　好，掌握了功的概念后，我们下面来讨论第二个概念——功率。请大家按下暂停键看例2。首先我们来看如何理解功率的概念，功率的定义式怎么表示？如何理解瞬时功率和平均功率？对于功率的概念，特别要关注功率的性质，即所求的功率是平均功率还是瞬时功率，这两种不同功率的计算方式不一样。我们来看例2。

　　在例2中，第一问要求起重机在这2秒内的输出功率，2秒内的输出功率对应某一段时间的功率，这指的是平均功率。而起重机在2秒末的输出功率，对应的是某一时刻的功率，即瞬时功率。我们先看第一个问题，求这2秒内的平均输出功率，首先要求出这2秒内物体所受外力做的功，这就需要知道物体所受的外力以及在外力作用下通过的位移。因为物体做匀加速运动，由匀变速运动规律可知物体的加速度，位移公式也可确定。代入数据算出加速度为$2$米每二次方秒，位移为$4$米。根据牛顿第二定律，可求出合外力及拉力，拉力为$1.2×10^{4}$牛顿。再根据位移，由功率定义（此时为平均功率，$P = \frac{W}{t} = \frac{Fx}{t}$）算出2秒内输出的功率为$2.4×10^{4}$瓦。在第二个问题中，因为是求瞬时功率，所以要根据$P = Fv$（$v$为瞬时速度）来求，题目中告知2秒末的瞬时速度为$4$米每秒，直接代入公式可算出2秒末的输出功率。

　　好了，我们再看第三个问题，如果起重机的瞬时功率核定功率为$50$千瓦，货物在拉升过程中的最大速度是多少？根据所学知识，物体速度达到最大时，牵引力与阻力相等，这里就是绳子的拉力和重力相等，根据公式可求出此时速度的值。

　　我们再看第四个问题，如果起重机的额定功率为$50$千瓦，当货物上升速度为$2$米每秒时，它的加速度是多少？要求加速度，必须先知道合外力，要求合外力就得求出此时绳子的拉力。因为功率恒定，拉力$f$可由$P = Fv$得出$f = \frac{P}{v_{1}}$，再根据牛顿第二定律就可求出加速度的表达式。

　　根据对这四个问题的分析，我们可以对功率做个总结。对于机车启动问题，要弄清楚启动方式，是以恒定功率启动还是以恒定加速度启动。解决这类问题，要抓住三个关系式：一是机车速度最大时，牵引力最小，等于阻力，即最大速度$v_{max} = \frac{P}{f}$；二是机车以恒定加速度启动时，要注意加速过程中速度的最大值，此时机车功率达到额定功率；三是恒定功率启动时，一般根据动能定理求解。所以分析机车启动问题，一定要抓住这三个重要关系式。

　　复习了功和功率这两个概念后，我们来看本章最重要的功能关系——动能定理。关于动能定理，我们重点讲动能定理的内容：一个物体在一个过程中，合力对物体做的功，等于物体在这个过程动能的变化量，可用公式表示，它表明了合外力做功与动能变化的关系。动能定理使用时要特别注意适用条件，它既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，可同时作用，也可分段作用。使用动能定理时要注意流程，也就是应用动能定理的步骤，要进行动能运动分析、受力分析和做功分析，完成这三个分析才能正确使用动能定理。下面我们来看例3，请大家按下暂停键看例3。例3题目给出了5个问题，实际上给出了运用动能定理的规范步骤。首先画出物理情境示意图，对木箱进行受力分析，它受到重力、斜面对它的支持力、斜面对它的摩擦力以及沿斜面向上的拉力，用字母明确表示各力名称。第二个问题，写出各个力做功的表达式，我们有四个力，分别求每个力所做的功。根据位移方向，重力做功为$-mgx\sin\theta$，支持力做功为$0$（因为支持力方向与位移方向垂直），摩擦力做功为负（因为摩擦力方向与位移方向相反），拉力做功为拉力乘位移（因为拉力方向与位移方向相同）。第三个要写出各力做功的代数和，即总功的表达式，也就是把每个力所做的功加起来。还要写出合力的表达式。再看第四个，根据力的矢量关系求出合力，再写出合力做功的表达式。通过这道题分析可知，我们可以先求每个力所做的功，然后求各力做功的代数和得出总功；也可以先求合力，再求合力所做的功。这给出了运用动能定理求合外力做功的两种方法。