师：同学们好，上节课我们依据闭合电路中的能量关系，推导出了闭合电路的欧姆定律。本节课，我们将运用该定律来解决几个具体问题，包括计算闭合电路的功率和效率、分析动态电路，以及对含电容器电路进行分析与计算。

　　首先，我们来探讨闭合电路的功率和效率。上节课我们学习了闭合电路的欧姆定律：$E = U_{外} + U_{内}$。等号两边同时乘以电流$I$，得到$EI = U_{外}I + U_{内}I$ 。由此，我们得出闭合电路中的三种功率：电源的总功率$P_{总}=EI$，表示电路消耗的总功率；电源的输出功率$P_{出}=U_{外}I$，指外电路消耗的功率；电源的内耗功率$P_{内}=U_{内}I = I^{2}r$，指内电路消耗的功率。并且，电源的总功率等于电源的输出功率与电源的内耗功率之和。这三种功率的大小及分配，与电源电动势、内阻以及外电路相关。

　　探究一：如图所示的电路中，电源的输出功率与外电路的电阻$R$有什么关系呢？假设外电路电阻$R$为纯电阻，在纯电阻电路中，电源的输出功率$P_{出}=I^{2}R$。将闭合电路的欧姆定律$I = \frac{E}{R + r}$代入，可得$P_{出}=\frac{E^{2}R}{(R + r)^{2}}$ 。把分母上的完全平方式改写为$(R - r)^{2} + 4Rr$，然后分子分母同时除以$R$，就得到屏幕上的式子。我们可以发现，当$R = r$时，红色方框中的值为$0$，分母的值最小，此时电源的输出功率最大，即$P_{M}=\frac{E^{2}}{4r}$ 。电源输出功率随外电阻变化曲线如图所示。

　　从图像中能够看出，当$R > r$时，随着$R$增大，$P_{出}$减小；当$R < r$时，随着$R$增大，$P_{出}$增大。此外，当$P_{出}< P_{M}$时，每个输出功率对应两个外电阻$R_{1}$和$R_{2}$，根据功率相等的关系，可解得$r^{2}=R_{1}R_{2}$ 。

　　电源的效率，指的是电源的输出功率与电源的总功率之比，表达式为$\eta=\frac{P_{出}}{P_{总}}=\frac{U_{外}I}{EI}=\frac{U_{外}}{E}$ 。在纯电阻电路中，$\eta=\frac{I^{2}R}{I^{2}(R + r)}=\frac{R}{R + r}$ ，分子分母同时除以$R$，就得到屏幕上的式子。由此可知，当$R$增大时，效率提高。当$R = r$时，电源有最大的输出功率，但电源的效率仅为$50%$，效率并不高。当$R$为无穷大时，效率为$100%$，但此时外电路断路，无实际意义。

　　问题一：如图所示，线段$a$为某电源的$U - I$图线，线段$b$为某电阻的$U - I$图线。用上述电源和电阻组成闭合电路时，求：1. 电源的输出功率$P_{出}$为多大？2. 电源的内耗功率$P_{内}$为多大？3. 电源的效率$\eta$为多大？

　　解析：1. 从$a$图线的纵截距可得电动势$E = 3V$，$a$图线的斜率可以得到内阻$r = 0.5\Omega$。从$b$图线的斜率可得外电阻$R = 1\Omega$ 。我们可以画出该电源和电阻组成的闭合电路图。

　　由闭合电路的欧姆定律可得，$I=\frac{E}{R + r}=\frac{3}{1 + 0.5}=2A$ ，则电源的输出功率$P_{出}=I^{2}R = 2^{2}\times1 = 4W$ 。电源的内耗功率$P_{内}=I^{2}r = 2^{2}\times0.5 = 2W$ 。电源的总功率$P_{总}=EI = 3\times2 = 6W$ ，故电源的效率$\eta=\frac{P_{出}}{P_{总}}\times100%=\frac{4}{6}\times100%\approx66.7%$ 。

　　本题中$a$、$b$两图线的交点对应的电压和电流，就是该电源和电阻组成闭合电路后电阻上的电压和电流。所以两图线的交点就是电路的工作点。图中矩形的面积表示电源的输出功率，面积的值就为$4W$ 。

　　问题二：如图所示，电路中电动势$E = 3V$，内阻$r = 0.5\Omega$ ，$R_{0}=1.5\Omega$ ，变阻器的最大阻值$R = 10\Omega$ 。问：1. 在变阻器的阻值$R$为多大时，定值电阻$R_{0}$上消耗的功率最大，为多大？2. 在变阻器的阻值$R$为多大时，变阻器上消耗的功率最大，为多大？

　　解析：1. 定值电阻$R_{0}$上消耗的功率可以表示为$P = I^{2}R_{0}$，因为$R_{0}$不变，当电流最大时功率最大。此时应有电路中电阻最小，即当变阻器的阻值$R = 0$时，$R_{0}$上消耗的功率最大。功率$P_{M1}'=\frac{E^{2}}{(R_{0} + r)^{2}}\times R_{0}=\frac{3^{2}}{(1.5 + 0.5)^{2}}\times1.5=\frac{27}{8}W$ 。

　　通过前面的学习，我们知道电源的输出功率在外电阻等于内阻值最大。在求可变电阻消耗的最大功率时，可将其他电阻等效到电源内阻里去。所以第二问可以将$R_{0}$归入电源内电阻，这样变阻器上消耗的功率也就是电源的输出功率。即当$R = r + R_{0}=0.5 + 1.5 = 2\Omega$时，$R$消耗的功率最大值为$P_{M}=\frac{E^{2}}{4r}=\frac{3^{2}}{4\times2}=\frac{9}{8}W$ 。

　　反思归纳：电路中最大功率的计算技巧。电源的最大输出功率：在纯电阻电路中，当外电阻等于内阻时，电源的输出功率最大。若不能相等，当外电阻小于内阻时，外电阻越大，电源的输出功率越大；当外电阻大于内阻时，外电阻越小，电源的输出功率越大。电路中可变电阻的最大功率：当电路中有一个电阻变化而其他电阻恒定时，可以把这个电阻看作外电路，把其他的定值电阻当作电源内阻的一部分。当$R_{变}=R_{定} + r$时，$P_{变}$有最大值。电路中定值电阻的最大功率：定值电阻的阻值不变，根据$P = I^{2}R$，当电路中电流最大时，其功率最大。

　　接下来，我们学习闭合电路的动态分析。在闭合电路中，断开或闭合开关、滑动变阻器的滑片移动、电阻增大或减小等操作，都会导致电路电压、电流、功率等发生变化。分析这类变化的问题，我们通常称为电路的动态分析。

　　探究二：电动势为$E$，内阻为$r$的电源与定值电阻$R_{1}$、$R_{2}$及滑动变阻器$R$组成闭合电路，连接成如图所示的电路。当滑动变阻器的触头由中点滑向$b$端时，1. 滑动变阻器的阻值如何变化？电路中的总电阻如何变化？2. 电路中电流表$A_{1}$、$A_{2}$、电压表$V$的示数如何变化？

　　我们先来看电路结构，电路中电源电动势和内阻是定值。在外电路中，滑动变阻器$R$和定值电阻$R_{2}$并联后，再和定值电阻$R_{1}$串联。电压表并联在电源两端，测量的是路端电压；电流表$A_{1}$串联在干路中，测量的是干路电流；电流表$A_{2}$和电阻$R_{2}$串联，测量的是流过$R_{2}$这个支路的电流。滑动变阻器的下部分被短路，接入电路的上部分电阻是有效电阻。

　　解析：1. 由电路图可知，滑动变阻器的触头由中点滑向$b$端时，滑动变阻器接入电路中的阻值增大，则外电路的总阻值$R_{总}$增大。干路电流$I=\frac{E}{R_{总} + r}$，因$R_{总}$增大，所以$I$减小，故$A_{1}$示数减小。路端电压$U = E - Ir$，因$I$减小，所以$U$增大，即电压表的示数增大。$R_{2}$两端电压$U_{2}=E - I(R_{1} + r)$，因$I$减小，所以$U_{2}$增大，由$I_{2}=\frac{U_{2}}{R_{2}}$可知$I_{2}$增大，即$A_{2}$的示数增大。

　　拓展：流过滑动变阻器的电流如何变化呢？思路一：根据部分电路欧姆定律，滑动变阻器上的电流$I_{R}=\frac{U_{2}}{R}$，因为$U_{R}$和$R$均增大，难以判断$I_{R}$的变化。思路二：根据并联分流的关系，$I_{R}=I - I_{2}$，因$I$减小，$I_{2}$增大，即$I_{R}$减小。

　　反思归纳：解决闭合电路动态分析问题的基本思路。根据探究2的分析，我们可以看出，通常电路动态分析的基本思路是从局部到整体再到局部。即根据电路结构的变化，判断局部电阻$R$的变化。无论电路是串联还是并联，电路中任意一个电阻变大或变小时，电路的总电阻将变大或变小。然后根据闭合电路的欧姆定律，可以判断总电流和路端电压的变化。最后再对局部上的固定支路或变化支路进行判断。具体来说，当局部电阻增大时，$R_{总}$将增大。根据$I_{总}=\frac{E}{R_{总} + r}$，可以看出$I_{总}$减小。再根据$U_{端}=E - I_{总}r$，可以推出$U_{端}$增大。当$R$减小时，同理可以推出$U_{端}$减小。这个推理的过程在任何一个动态分析问题当中都是需要去判断的。对于局部的固定支路和变化支路，每个问题有所不同，但是对于固定不变的部分，一般按照欧姆定律直接判断，而对于变化的部分，一般应根据分压或分流间接判断。

　　问题三：在如图所示的电路中，电源内阻不可忽略。开关$S$闭合前，灯泡$L_{A}$、$L_{B}$、$L_{C}$均已发光。当开关$S$闭合时，请判断$L_{A}$、$L_{B}$、$L_{C}$三个灯泡的亮度变化情况。

　　解析：当开关$S$闭合时，$L_{C}$、$L_{D}$并联电阻减小，外电路总电阻$R_{总}$减小。根据闭合电路的欧姆定律可知，总电流$I_{总}$增大，路端电压，即$L_{A}$的电压$U_{A}=E - I_{总}r$减小，电流$I_{A}$减小，$L_{A}$变暗。$L_{B}$的电流$I_{B}=I_{总}-I_{A}$增大，$U_{B}$增大，$L_{B}$变亮。$L_{C}$的电压$U_{C}=U_{A}-U_{B}$，又因为$U_{A}$减小，$U_{B}$增大，所以$U_{C}$减小，$L_{C}$变暗。

　　然后，我们学习含电容器电路的分析与计算。在闭合电路中，常会有电容器接入电路，这类电路称为含容电路。下面通过探究3来寻找含容电路的分析和计算的方法。

　　探究3：如图所示，电源电动势$E = 10V$，电源内阻可忽略，定值电阻$R_{1}=4\Omega$ ，$R_{2}=6\Omega$ ，$R_{3}=4\Omega$ ，电容器的电容$C = 30\mu F$。求：1. $S$闭合后电路稳定时，通过$R_{1}$的电流。2. $S$原来闭合然后断开，这个过程中流过$R_{1}$的总电荷量。

　　我们先来分析电容器的特征。电容器充放电结束后，电路达到稳定。由于电容器所在支路无电流，此支路相当于断路，与电容器串联的电阻无电压，相当于导体。本题中电阻$R_{3}$和电容器串联，电路稳定时，$R_{3}$中无电流，两端无电压，$R_{3}$相当于导体，电容器两极板间的电压等于该支路两端的电压。本题中电容器和$R_{2}$并联，根据欧姆定律求得$R_{2}$两端的电压，即为电容器两极板间的电压。

　　解析：1. $S$闭合后电路稳定时，电容器相当于断路，$R_{3}$相当于导体，$R_{1}$、$R_{2}$串联。所以通过$R_{1}$的电流$I=\frac{E}{R_{1} + R_{2}}=\frac{10}{4 + 6}=1A$ 。

　　如何求解电容器的带电量及其变化呢？可以利用$Q = CU$计算电容器初末状态所带的电量$Q_{1}$和$Q_{2}$。如果变化前后极板带电的电性相同，通过所连导线的电量为$\vert Q_{1}-Q_{2}\vert$；如果变化前后极板带电的电性相反，通过所连导线的电量为$Q_{1}+Q_{2}$。当然，我们也可以根据电路稳定前后电容器带电量的情况，确定电流流向。

　　下面我们解析第2小问。$S$断开前，电容器两极板间的电压等于$R_{2}$两端的电压，即有$U_{C}=U_{2}=IR_{2}=1\times6 = 6V$ 。此时电容器所带电荷量为$Q_{1}=CU_{C}=30\times10^{- 6}\times6 = 1.8\times10^{-4}C$ 。$S$断开且电路稳定时，$R_{1}$、$R_{3}$中无电流，相当于导体，电容器直接接在电源两端，所以电容器两极板间的电压等于路端电压。由于电容器相当于断路，路端电压等于电动势，即$U_{C}' = E = 10V$ ，电容器所带电荷量为$Q_{2}=CU_{C}' = 30\times10^{-6}\times10 = 3.0\times10^{-4}C$ 。由于开关$S$断开前后，电容器上下极板所带电荷的电性不变，上极板带正电，下极板带负电。所以流过$R_{1}$的电荷量等于电容器所带电荷量的增加量，即$\Delta Q = Q_{2}-Q_{1}=3.0\times10^{-4}-1.8\times10^{-4}=1.2\times10^{-4}C$ 。

　　请思考：在第二问的情境中，流过$R_{1}$的电流方向。由于电容器上极板一直带正电且电荷量增加，所以开关$S$断开后，电源对电容器充电，流过电阻$R_{1}$的电流方向向右。

　　反思归纳：含容电路分析和计算的一般思路。确定电路的连接方式，即电容器和哪部分电路并联。根据欧姆定律，求并联部分的电压，即为电容器两极板间的电压。根据公式$Q = CU$或$\Delta Q = C\Delta U$，求电荷量及其变化量。

　　问题四：在如图所示的电路中，当滑动变阻器的滑动片向下移动时，关于电灯$L$的亮度及电容器$C$所带电荷量$q$的变化，判断正确的是（ ）

　　A. $L$变暗，$q$增大

　　B. $L$变暗，$q$减小

　　C. $L$变亮，$q$增大

　　D. $L$变亮，$q$减小

　　解析：当滑动变阻器的滑动片向下移动时，滑动变阻器$R_{2}$接入电路的有效阻值减小，回路总电阻$R_{总}$减小。根据闭合电路的欧姆定律，回路总电流$I_{总}$增大，路端电压$U$减小。本题中灯$L$接在电源两端，其电压等于路端电压，当路端电压$U$减小时，灯$L$消耗的功率减小，所以$L$变暗。电路稳定时，电容器所在支路上的电阻$R_{3}$上无电流，两端无电压，$R_{3}$相当于导线，电容器板间电压等于变阻器两端的电压。路端电压$U$减小，通过灯$L$的电流减小，而干路电流$I_{总}$增大，所以通过$R_{1}$的电流增大，$R_{1}$的电压也增大。因为$U$减小，变阻器两端的电压减小，电容器跟变阻器并联，所以电容器两端电压减小，其带电量$q$减小。本题选项B正确。

　　同学们，下面进行课堂小结。本节课我们在闭合电路的欧姆定律基础上，学习了闭合电路的三种功率和效率，了解到在纯电阻电路中，电源的输出功率在外电阻等于内阻时最大，求可变电阻消耗的最大功率时，可将其他电阻等效到电源内阻里去。我们还学习了分析闭合电路动态分析问题的基本思路，即从局部到整体再到局部。学习了含容电路中分析和计算电容器电荷量及其变化的方法。电路中的电流、电压变化时，将会引起电容器的充放电。电路稳定时，电容器相当于断路，与电容器并联部分的电压即为电容器两极板间的电压。希望同学们能够灵活应用以上知识解决具体问题。闭合电路的欧姆定律第二课时就学习到这里，同学们再见。