师：同学你好，圆周运动是常见的运动形式，在生活中有诸多应用。大家看火车转弯时的特点，再放大观察它的轨道和车轮。火车车轮与汽车轮胎不同，有突出轮缘。火车转弯时做圆周运动，车轮架在铁轨的外轨和内轨上。

　　现在思考第一个问题：当火车在水平轨道转弯，即内外轨道一样高时，所需向心力由谁提供？这就需要对火车进行受力分析，它受到竖直向下的重力和垂直于水平面向上的支持力，这两个力在竖直方向二力平衡。此时，火车转弯所需向心力由外轨对轮缘的弹力提供。向心力公式是$f = \frac{mv^{2}}{r}$，当火车质量$m$较大、速度也较大时，外轨和轮缘之间的挤压会非常大，大家想想会造成什么后果？没错，火车转弯速度过快会侧翻脱轨，引发严重事故。

　　那么在实际中，铁路弯道是如何设计的，为什么要这样设计？仔细观察图片，会发现在转弯处外轨略高于内轨，铁轨平面不再水平，与水平方向呈一定角度，用$\theta$角表示。此时再对火车受力分析，它受到竖直向下的重力，支持力方向不再竖直向上，而是垂直于轨道平面向上。同学们再思考，火车转弯所需向心力方向是在水平方向，还是与斜面平行的方向？要回答这个问题，得先想火车转弯时的轨道平面在哪，如图所示，一种是水平方向的轨道平面，另一种是与斜面平行方向的轨道平面，大家想一想是哪一个？很容易得出，应该是在水平面上。所以做圆周运动时，首先要定圆心、找半径。我们发现火车转弯时，圆心在如图所示的$o$点，重力和支持力的合力$f_{合}$指向圆心，提供了火车做圆周运动所需的向心力。

　　如果轮缘和轨道之间完全没有挤压，此时火车速度会满足什么关系？从受力分析图可知，火车只受到竖直向下的重力和垂直于铁轨向上的支持力，这两个力的合力$f_{合}$，根据三角形关系可得$f_{合}=mg\tan\theta$。若这个合力完全能提供火车转弯所需的向心力，即$F_{N}=\frac{mv^{2}}{r}$，由此可求出此时火车的速度$v = \sqrt{gr\tan\theta}$。

　　所以当火车以这个规定速度行驶时，轮缘和铁轨之间没有挤压，既避免侧翻事故，也不会损害轮缘和铁轨。但如果火车速度大于或小于这个值，轨道对轮缘的挤压情况又是怎样的呢？我们来分析，第一，当速度$v > \sqrt{gr\tan\theta}$时，向心加速度需要增大，此时重力$G$和支持力$F_{N}$的合力不足以提供向心力，外轨就会对轮缘有向内的弹力。那如果速度比较小呢？对，所需向心力变小，轮缘就会受到内轨向外的弹力。

　　随着经济发展，物流速度加快，火车提速后，如何对旧的铁路弯道进行改造？内外轨的高度差$h$又该如何确定？画出铁轨示意图，$l$表示两个车轮之间的距离，$h$是内外轨道高度差。根据前面所学，当轮缘和轨道之间没有挤压时，合力$mg\tan\theta$等于所需向心力$\frac{mv^{2}}{r}$。由于倾斜角度较小，在三角函数中，$\tan\theta \approx \sin\theta = \frac{h}{l}$，将其代入第一个公式，很快可算出$h = \frac{lv^{2}}{gr}$。所以火车提速后，内外轨轨道高度差$h$要变大。这再次说明向心力的来源是一个力或几个力的合力。同学们分析做圆周运动物体的受力时，千万不能说还受到一个向心力，向心力是按效果命名的。

　　在日常生活中，我们见到更多的是汽车。来讨论这样一个例子，质量为$m$的汽车以恒定速率$v$通过半径为$r$的拱桥，求汽车在桥顶时对路面的压力是多大？画出汽车过桥顶时的受力分析图，汽车受到竖直向下的重力和垂直于桥顶向上的支持力，在桥顶有切向速度，此时只考虑竖直方向受力情况。汽车在桥面顶端做圆周运动，用$r$表示所处位置的曲率半径，做圆周运动必须有向心力，由谁提供呢？根据牛顿第二定律，汽车在竖直方向所受合力$mg - F_{N}$等于所需向心力$\frac{mv^{2}}{r}$，移项可得$F_{N}=mg - \frac{mv^{2}}{r}$。再根据牛顿第三定律，汽车受到桥面向上的支持力，同时会对桥面有向下的压力，二者是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反且在同一条直线上，所以汽车对桥面的压力$F_{N}' = F_{N} = mg - \frac{mv^{2}}{r}$。同学们会发现，此时汽车对桥面的压力小于汽车重力，这属于什么情况呢？这是失重状态。