师：今天我们一起来学习月地检验及万有引力定律的有关内容。牛顿研究了太阳和行星之间的引力之后，对两个问题进行了深入思考。

　　第一个问题源于对星空星体的观测。通过研究木星及其卫星的观测数据，牛顿发现木星卫星到木星距离的三次方与卫星周期的平方之比是一个常数，不过这个常数不同于开普勒第三定律中的数值。同样规律也出现在土星及其卫星系统中。于是他思考，其他星球间是否也存在与太阳行星间引力同样的相互作用呢？

　　第二个问题，牛顿把目光投向地球表面。树上苹果成熟后总会落向地面，这是地球对苹果的吸引力。那么，这种吸引力会不会作用到远离地球的物体上，比如月球呢？

　　基于这两个思考，牛顿提出两个重要猜想：第一，除行星受到太阳吸引力外，行星之间、行星与其卫星之间也存在吸引力。例如月球绕地球运行、地球绕太阳运行，其中的吸引力都至关重要，且它们之间的作用力应是同一种性质的力，在地面上体现为地球对苹果的吸引力，也应是同一种性质的力。

　　基于此猜想，牛顿进行理论推导。如果地月之间、地球和苹果之间的作用力，都与太阳行星间的作用力是同一种性质，它们的表达式应满足相同形式，即地月之间的引力等于地月质量之积除以地月距离的平方，比例系数为大G；地球对苹果的吸引力同理，只是用大小r区分两个距离，递推关系中的小r表示地月距离，苹果与地球吸引力中的大r表示地球半径，因为苹果在地球表面，到地心的距离就取地球半径。

　　但这里出现一个重大困惑：苹果和地球之间的引力等于苹果受到的重力，这个可直接测量；然而地月之间的引力无法测量。牛顿的困惑在于，无法直接测量地月引力的情况下，如何验证这两个力是同一性质的力呢？这引发了他进一步思考。

　　之前研究牛顿第二定律时，我们知道力是产生加速度的原因。如果不能直接比较地球与月球、地球与苹果之间的相互作用力，能否用力产生的加速度来间接比较这两个力呢？

　　带着这个想法，我们审视月球和苹果的运动。月球在地球吸引下做绕地球的圆周运动，吸引力产生圆周运动的向心加速度；苹果在地球吸引力作用下做自由落体运动，吸引力产生苹果下落的自由落体加速度。这样问题似乎简单了些。

　　我们可利用牛顿第二定律求出月球做圆周运动的向心加速度，表达式为a月 = G×地球质量÷地月距离的平方；同样，根据牛顿第二定律，苹果落地的自由落体加速度表达式为a平 = G×地球质量÷地球半径的平方。

　　虽然我们无法直接测量地球质量和地月之间引力，但若得到月球的向心加速度和苹果的自由落体加速度，只要验证它们的比值是否与两个半径的平方呈a月 / a平 = 地球半径的平方 / 月地距离的平方这样的规律，就能验证月地之间的吸引力与地球对苹果的吸引力是否是同一性质的力。

　　当时观测已知地月之间的距离大概是地球半径的60倍，即要验证月球的向心加速度是否是苹果自由落体加速度的1 / 602，这个数值接近1 / 3600。

　　已知自由落体加速度g约等于9.8米/秒2，月地之间的距离是3.8×10?米，月球公转周期约等于2.36×10?秒。根据这些数据来验证假设：月球做匀速圆周运动，a月 = 4π2×月地距离r÷公转周期T2 ，带入数值运算，a月约等于2.69×10?3米/秒2 ，这是月球绕地球圆周运动的向心加速度；苹果的自由落体加速度a平 = g = 9.8米/秒2 。把这两个数据相比，a月 / a平约等于1 / 3643，这个数据非常接近1 / 3600。