师：今天我们来学习向心加速度。在学习新课之前，先思考一个问题：天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动，这里“匀速”的含义是什么呢？通过上节课学习，我们知道圆周运动速度方向时刻改变，所以这里的“匀速”指匀速率，是变速运动。既然是变速运动，运动状态时刻改变，那就一定存在加速度。天宫二号在轨飞行时，它加速度的方向和大小如何呢？本节课我们就来学习匀速圆周运动的向心加速度。

　　前面我们学了5章内容，回顾一下加速度的表达式有哪些？a等于F除以m，还有a等于Δv比上Δt。这两个式子之间是什么关系呢？根据牛顿第二定律，a等于F除以m，即合外力除以物体质量，有了合外力就有加速度，从而改变速度。而加速度a等于Δv比上Δt是定义式，是根据速度的效果来定义加速度的。这节课讲匀速圆周运动的加速度，要回顾上节课内容，物体做匀速圆周运动时，有一个指向圆心的力，我们命名为向心力。有了向心力，就一定有指向圆心的加速度。

　　这个加速度的定义是什么呢？就是本节课要讲的向心加速度，我们用$a_n$来表示。从前面内容可知，做匀速圆周运动的物体，它的加速度时刻指向圆心，这个加速度我们称之为向心加速度。从定义出发，能知道向心加速度的方向，它应该是沿半径指向圆心的。新学一个物理量，要关注它的物理意义。向心加速度时刻沿半径方向，也就是与速度垂直，由于是圆周运动，我们称这个速度为线速度。向心加速度只能改变线速度的方向，而不改变线速度的大小，这就是向心加速度的物理意义。学习了向心加速度的定义、方向和物理意义，那向心加速度大小具体是怎样的呢？接下来讨论一下匀速圆周运动向心加速度的大小。

　　回顾上节课所讲的向心力的表达式$F_N$。思考一下，向心力$F_N$等于$m\frac{v^2}{r}$等于$m\omega^2r$。再根据牛顿第二定律$a = \frac{F}{m}$，把上述的向心力代入，就得出向心加速度$a_n$等于$\frac{v^2}{r}$还等于$\omega^2r$。这是从牛顿第二定律，也就是动力学的观点得出的向心加速度。

　　加速度还有一个表达式是从速度变化的效果出发，也就是从运动学角度，会不会也得出这样的结论呢？接下来从运动学的角度推导向心加速度的表达式。$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$，是速度变化量比上这一段时间。要研究加速度，就要先研究速度变化量$\Delta v$。$\Delta v$是矢量，等于末速度减初速度，矢量相减。先研究在一条直线上的矢量相减，看下面的图。

　　初速度是$V_1$，末速度是$V_2$，$V_2 - V_1$，第一个图能看出这样一个矢量方向表示$\Delta v$的方向和大小。如果像第二个图，初速度$V_1$比$V_2$大，是减速情况，这里$V_2 - V_1$，$\Delta v$就变成了这样一个矢量。这是在一条直线上的情况，而我们要讲的圆周运动，速度不在一条直线上，不共线，那$\Delta v$应该是怎样的呢？一起来看。

　　如果不在一条直线上，看这样一个图，$V_1$和$V_2$怎么考虑这个问题呢？$\Delta v = V_2 - V_1$，矢量相减我们不擅长，可以移项变成$V_1 + \Delta v = V_2$。根据前面学过的矢量三角形法则，$V_1$加上这样一个矢量$\Delta v$等于$V_2$，所以红色标注的这个矢量就是$\Delta v$。速度变化量应该是从初速度矢量$V_1$的末端做一个矢量$\Delta v$至末速度矢量$V_2$的末端，这样的一个矢量$\Delta v$就用来表示速度的变化量。

　　把它放到一个模型里，来看质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为$V_A$，经过$\Delta t$时间后位于B点，末速度为$V_B$。接下来探讨这个模型中它的向心加速度是怎样的。