师：本节课我们继续学习向心加速度。上节课我们讲了向心加速度基本表达式$a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2r$。从公式$a = \frac{v^2}{r}$看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式$a = \omega^2r$看，向心加速度与半径又成正比。这两个结论是否矛盾呢？我们结合自行车传动装置来分析。大家看自行车的结构，有大齿轮$a$、小齿轮$b$以及后轮$c$，它们半径不同，边缘各有一点。哪两个点向心加速度的关系适用于向心加速度跟半径成正比，哪两点适用于向心加速度与半径成反比呢？请大家思考并解释。

　　大家看这个装置，$a$轮和$b$轮在同一链条上，相同时间内，$a$和$b$走过的路程一样，也就是说$a$和$b$的线速度大小相等。所以同一根链条相连，因线速度大小相等，适用于向心加速度与半径成反比。

　　如果不太了解自行车，我画了个简化模型。$a$和$b$同一根链条相连，相同时间内走过的路程一样，所以线速度相等。同理，我们再看$b$和$c$，它们都在后轮上，特点是什么呢？$b$和$c$在同一根轴上转动，在相同时间内转过的角度相等，即$b$、$c$两点围绕同一个轴心转动，$\omega$相等，就适用于向心加速度与半径成正比。

　　这里有个问题，我们刚是把$a$和$b$、$b$和$c$分别放在一起比较。那这道题能不能把$a$和$c$放在一起比较呢？$a$在前轮大齿轮上，$c$在后轮上，$a$和$c$的$v$不相等，$\omega$也不相等。我们发现，在$a = \frac{v^2}{r}$、$a_n = \omega^2r$里，$v$和$\omega$都是自变量，都在变，所以$a$和$c$很难直接建立联系。这里其实用到了控制变量法，做这类题要找到相关联的因素。$a$、$b$一根链条，$v$相等，就用$\frac{v^2}{r}$；$b$和$c$同一根轴转，$\omega$相等，就用$\omega^2r$。

　　接下来我们讨论向心力和向心加速度的问题分析。看这样一个模型，在长为$l$的细绳下端系一个质量为$m$的小球，捏住绳子上端固定，使小球在水平面做圆周运动。细绳沿着圆锥面旋转，形成一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向成$\theta$角时，小球运动的向心加速度$a_n$大小是多少呢？再通过计算说明，若增大角度$\theta$，是否应增大小球运动的角速度$\omega$？

　　这道题有一定难度，它是个立体图形（圆锥摆），要做受力分析找向心加速度。我们先把立体图转化为平面图。具体解题思路是：先确定研究对象，再定圆心，找到圆周运动的半径，接着对小球受力分析，根据受力分析确定向心力$F_N$，最后根据$a = \frac{F_N}{m}$求出向心加速度。

　　我们先把例题转成平面图，这里做了一个纵切的截面图。对小球进行受力分析，定圆心找半径$o$，小球轨迹在这个平面上做圆周运动，圆心在这个位置。已知绳长$l$以及绳子与竖直面的夹角$\theta$，那么半径$r$在这个三角形中为直角边，$r = l\times\sin\theta$。

　　找了半径后，重要环节是受力分析。小球在地球上受重力，还受到绳子的拉力$F_T$，小球做匀速圆周运动。回顾上节课内容，合外力提供向心力，小球受两个力，合外力指向圆心，即指向$o'$方向。根据平行四边形定则，可得$F_{合}=mg\times\tan\theta = F_N$。再根据牛顿第二定律，向心加速度$a_n = \frac{F_{合}}{m}$，也就是$a_n = g\times\tan\theta$。

　　题干要求求角速度，向心加速度$a_n = \omega^2r$，代入上面式子变形可得$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2l}$。题干要求增大$\theta$角，通过计算可知，增大小球的角速度就能做到。