师：同学们好，这节课我们讨论电磁感应的第三讲——电磁感应的电路问题和图像问题。我们先来看电磁感应中的电路问题。这类试题是电磁感应规律与电学问题的结合，解决问题的关键在于：一是确定等效电源的正负极性、感应电流的方向、电路结构等。其中，等效电源的正负极性和感应电流的方向我们可以用右手定则或楞次定律来判断。二是根据等效电路图来求解电路中的总电阻、路端电压、功率等问题。这就需要用到闭合电路欧姆定律、电功率等相应知识。下面我们通过两个例题的分析解答来具体梳理这个问题的处理方法。

　　来看例题一，如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ固定在水平面上，间距(l)是(0.6)米。两导轨左端用导线连接一个电阻(R_1)、理想电压表及电阻为(r = 2)欧姆的金属棒，金属棒垂直于导轨静止在(AB)处，其电阻也为(2)欧姆，右端用导线连一个电阻(R_2)。已知(R_1 = 2)欧姆，(R_2 = 1)欧姆，导轨和导线电阻不计。在矩形区域(CDFE)内有垂直纸面向上的磁场。

　　首先，这应该是一张俯视图，磁场垂直纸面竖直向上。其中(CD)段的长度为(0.2)米，磁感应强度随时间的变化规律已知：(0 - 0.2)秒内磁感应强度均匀增加，(0.2)秒以后磁场恒定不变。开始时电压表有示数，当电压表示数变为(0)以后，对金属棒施加一个水平恒力(F)，使金属棒进入磁场区域时，电压表的示数又变为原来的值，并且金属棒在磁场中运动过程中电压表的示数始终保持不变。题目要求求解三个问题。

　　我们来分析问题情景：

　　从模型来讲，这个问题实际上是一个磁变模型和切割模型在时间上的串接。

　　电路结构方面，(0 - 0.2)秒内导体棒静止于(AB)处，磁场均匀增加，整个回路有感生电动势产生。依据楞次定律，对于这个回路，磁场增加，磁通量变大，感应磁场要阻碍其增加，感应磁场向里，由安培定则可判断整个回路电流是顺时针方向。从电路结构看，电流从一端流过时分两条路，一条经过金属导体棒(r)，一条经过(R_1)，然后在某位置汇总后流经(R_2)再回来。所以在这一段时间内，电路结构是电阻(R_1)与金属棒(r)两个电阻并联以后，再和(R_2)串联构成一个回路。

　　在(0.2)秒以后，磁场不变，金属棒被外力拉着进入磁场切割磁感线，此时金属棒相当于一个电源。由右手定则可判定，流过金属棒的电流从上端到下端，它充当电源，下端等效为电源正极，上端等效为电源负极。这时电流从等效正极出来后分两条路，分别经过(R_1)、(R_2)，回到等效电源负极。因此，电路结构是(R_1)、(R_2)两个电阻并联到电源两端，此时伏特表测量的就是并联支路的电压。

　　关于条件分析，从文本描述中，我们已知三个导体的电阻(R_1)、(r)均为(2)欧姆，(R_2 = 1)欧姆，(CD)区域的宽度(0.2)米以及导体棒长(0.6)米，这是显性条件。隐性条件在于电压表示数的变化及意义。在(0 - 0.2)秒内，电压表测量的是(R_1)和(r)的并联支路电压；(0.2)秒以后，电压表测量的是(R_1)、(R_2)两个电阻的并联电压。从示数变化来讲，先有示数，然后示数变为(0)，意味着磁场不再变化，接着导体棒进入磁场切割磁感线，电压表又有示数。所以，这是先磁变后切割的模型。并且当导体棒进入磁场切割磁感线时，电压表示数不变，意味着并联支路分到的电压不变，而并联支路的总电阻和电源内阻的比值不变，所以电压表示数不变意味着导体棒切割磁感线时产生的感应电动势不变，从而可判定导体棒在磁场中切割磁感线时做匀速直线运动。

　　下面看具体解答：

　　第一问，求(0.1)秒时电压表的示数。(0.1)秒时处于磁变模型中，因为磁场均匀变化，磁通量均匀变化，所以(0.1)秒时的瞬时示数也就是(0 - 0.2)秒内的平均值，此时产生的感生电动势是定值。首先依据法拉第电磁感应定律(e = \frac{\Delta \varPhi}{\Delta t})，因为磁场变化引起磁通量变化，(\Delta \varPhi = \Delta B \times S)，所以感应电动势(e = \frac{\Delta B}{\Delta t} \times l \times d)，(\frac{\Delta B}{\Delta t})表现为(B - t)图像上(0 - 0.2)秒内的斜率，代入数据可算出感应电动势(e = 0.6)伏。从电路结构看，(R_1)和(r)并联后，并联电阻为(1)欧姆，再与(R_2)串联，回路总电阻为(2)欧姆。因此，电压表显示的数值等于(\frac{e}{2} \times)并联电阻( = 0.3)伏特。解决第一问的关键是分清电路结构，明确定压表示数的意义。

　　第二问，求恒力(F)的大小。依据前面分析，导体棒进入磁场后做匀速运动，所以解答这一问从这个点突破。其等效电路是，当导体棒进入磁场后，(R_1)、(R_2)电阻并联。由题干条件知电压表示数不变，所以可以先算出流过外电路的总电流，即流过(R_1)电流和(R_2)电流的总和为(0.45)安培。此时金属棒所受安培力(F_{安}= B_1'lI_1')，代入数据可算出(0.27)牛顿。因为导体棒进入磁场后做匀速直线运动，所以拉力(F)等于安培力(0.27)牛顿。此问解答关键是明确定压表示数不变的意义。

　　第三问，求从零时刻开始到导体棒出磁场整个过程中产生的热量。整个过程分为两个过程：一是磁场变化过程，二是导体棒切割磁感线过程。所以分两步来求。第一个过程中焦耳热(Q_1 = \frac{e^2}{R}t)，前面已求出磁变过程中感应电动势(e = 0.6)伏，回路总电阻(R = 2)欧姆，代入可算出(Q_1 = 0.036)焦耳。在切割过程中，因为导体棒匀速切割，电流恒定，所以仍可用焦耳定律(Q = I^2Rt)来算。在第二问求解中，关键要求出导体棒在磁场中运动的时间。首先求切割磁感线的速度，从电路结构看，(R_1)和(R_2)两个电阻并联后与等效电源内阻串联，整个回路总电阻(R_1' = R_1 + \frac{R_2r}{R_2 + r} = \frac{8}{3})欧。已求出回路总电流(I_1' = 0.45)安培，所以切割产生的感应电动势(E' = I_1'R_1' = 1.2)伏，由(E' = B_2lv)可算出匀速运动速度(v = 2)米每秒。它在磁场中运动时间(t' = \frac{d}{v} = 0.1)秒。因此，切割过程中产生的热量(Q_2)，可以用(E'I_1't')，或者(I_1'^2R_1't')来计算。这样，整个过程总热量是两个过程热量之和，为(0.09)焦。在这个问题求解中，始终采用焦耳定律(Q = I^2Rt)来计算。那么在第二个过程中还有其他方法求解热量吗？从功能关系来讲，第二问中导体棒切割磁感线匀速运动，速度不变、动能不变，安培力对导体棒做负功(W = - F_{安} \times d = - 0.054)焦耳。由功能关系可知，安培力做了(- 0.054)焦耳的功，意味着将(0.054)焦耳的其他形式能量转化为电能，所以在第二过程中产生的热量等于安培力做功的绝对值。

　　在这个问题解决中，解决电磁感应中电路问题应做好三个分析：一是分析源，即谁充当电源、感应电动势多大、选择什么公式计算感应电动势以及等效电源极性的判断。二是分析路，依据等效电源和其他元件的连接方式画出等效电路图，这是解决电磁感应中电路问题的关键。三是分析用哪些表达式来处理问题，这里涉及闭合电路欧姆定律、串并联电路等相关知识。