师：同学们好，这节课我们讨论电磁感应的第四讲动力学问题和能量问题。这类试题主要有三大特点：一是综合度高，涉及电路、电磁感应、运动与力、功能关系等较多规律。这也导致处理方法多样，所以在具体问题解答中，需要思考如何选择更优方案。

　　第三个特点是这类问题较为复杂，良好的审题习惯是解决这类问题的重要基础之一。建议同学们在审题时通过画圈、画线的方式，逐步培养良好的审题习惯。接下来，我们从教材的一道习题入手讨论这类问题。

　　大家看，如图所示，固定的线框放在匀强磁场中，磁感应强度为(B)，磁场方向垂直于线框平面。线框中接有阻值为(R)的电阻，还有一根金属导体棒(AB)，阻值为(r)，长度为(l)。现在给它一个初速度(v_0)，使其沿着光滑的导线框向右运动，线框电阻不计。

　　针对这个问题，我们有三个小问。第一个问题，在整个(ABCD)电路中，哪一部分相当于电源？哪个位置相当于电源的正极？哪一部分相当于闭合电路的外电路？这个问题实际上考查的仍是电路知识。导体棒(AB)向右运动切割磁感线，由右手定则可判定，导体棒中的电流从(B)端流向(A)端，所以(AB)棒相当于电源，(A)端充当电源的正极，(R)相当于外电路。其实这个题目基本方法就是找电源，画等效电路图。

　　我们看第二个问题，(AB)棒做什么运动呢？根据力学知识，运动取决于力和速度两个条件。要知道(AB)棒做什么运动，首先得分析它在运动过程中受了哪些力。为便于分析，我们把俯视图转化为正视图，从(B)端看进去，由垂直纸面向里的电流可知，它受重力、支持力，根据左手定则还可判定受到一个安培力的作用。这个安培力与速度方向相反，所以导体棒做减速运动。在运动过程中，速度变小，导致产生的瞬时感应电动势变小，电流变小，安培力变小，加速度变小，所以导体棒实际上做的是加速度(a)减小的减速运动，其速度 - 时间图像就是这样。

　　好，(AB)棒的运动我们分析清楚了，这个分析过程实际上是结合它的受力来分析运动情景。我们看第三小问，当某一时刻(AB)棒的速度为(v)时，(AB)棒所受安培力的功率有多大？电阻(R)、电阻(r)各自的发热功率有多大？并且要从能的转化和守恒角度说明这三个功率之间的关系。

　　首先看安培力的功率，力乘以力方向上的速度，即(F_{安}v = BILv)。这一时刻的瞬时电流(I = \frac{BLv}{R + r})，所以推出安培力的功率(P_{安} = \frac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R + r})。这一时刻电阻(R)的功率(P_R = I^{2}R)，把电流代入可算出。类似的，也能算出(r)上的热功率。把电阻(R)和(r)上的两个功率加起来，得到整个电路总的热功率，代入化简后发现，数值上等于(\frac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R + r})，也就是说在这一时刻安培力的功率和整个回路总的热功率是相等的。

　　这个关系式是我们在整个过程中取某一时刻论证的，实际上在整个过程中的任何一个时刻，安培力的功率都等同于整个电路的总的热功率，这就是两者功率的关系。我们知道能量的转化是通过做功实现的，在这个过程中，安培力对导体棒做负功，使其动能减少，将减少的动能转化为其他形式的能量，这里所谓的其他形式能量实际上就是整个电路获得的电能。所以从能量转化来讲，其他形式的能量通过安培力做负功转化为电能，然后电流流过整个回路，通过电流做功转化为内能或其他形式能量，这就是整个能量的转化过程。

　　通过对第三问的分析，我们发现电磁感应的实质实际上是不同形式能量的转化过程。在切割模型当中，当导体棒克服安培力做了多少功，就必然会产生多少电能。如果整个回路是纯电阻电路，这些电能被电阻消耗后产生内能，所以对于纯电阻电路来讲，产生的总的内能就等于克服安培力做功的值。

　　好，通过这个教材习题处理，我们来梳理一下处理电磁感应的动力学问题和能量问题的一般方法。

　　第一，首先要确立两个研究对象，即电学研究对象和力学研究对象。电学研究对象中要确定谁充当电源，电路结构如何。例如上题中，导体棒(AB)相当于电源，外电阻(R)和电源构成串联回路。同时要确定力学研究对象，上题中就是导体棒(AB)。

　　第二，要做好四个分析。一是分析受力情景，特别是过程中有哪些力是变力，以及这些变量如何变化；二是结合受力分析和速度条件分析物体的运动情景；三是分析做功情景，明确各个力的做功情况，包括正负等，从而分析清楚能量的转化情况。

　　第三，这里涉及热量的求解，热量求解有三种方法。一是用焦耳定律(Q = I^{2}Rt)求解，该公式适用于电流恒定的情景，或者已知有效值的交变电流。二是从功能关系求解，就像我们前面证明的，在这个过程中整个回路所产生的总的热量等于克服安培力做的功，但这个公式运用有前提条件，一是适用于切割模型，二是整个回路是纯电阻电路。三是从能量转化角度，整个回路所产生的内能等于其他形式能量的减少，这个表达式无论是磁变模型还是切割模型都适用。

　　好，这是我们对这个问题的解答。接下来对教材习题做两个拓展。

　　第一个拓展，导体棒在整个运动过程中，如果导体棒向右的最大位移为(x)，要你求解这个过程中流过大(R)的电量有多少？由前面分析知道导体棒向右运动时做加速度减小的减速运动，速度变化，感应电流变化，所以求解电量只能用(q = \overline{I}t)。总电量(q = \overline{I}t)，平均电流(\overline{I} = \frac{\overline{E}}{R + r} = \frac{n\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t}}{R + r})，这里要注意，总电动势除以回路总电阻算的是整个回路的总的平均电流。消去(\Delta t)，得到(q = \frac{\Delta\varPhi}{R + r})，改变的磁通量(\Delta\varPhi = BLx)，所以(q = \frac{BLx}{R + r})。这里算的是流过整个回路的总电量，也就是流过等效电源的电量。因为外电路只有一条支路，所以流过大(R)的电量就是这个(q)。这里求流过大(R)的电量不需要分配，因为对闭合回路来讲，流过电源的电量就是流过外电路的总电量。

　　好，这是对电量的求解。如果我们把已知条件做个改变，看拓展二。如果已知导体棒在整个运动过程中用的时间为(t)，请你求解这个过程中流过大(R)的电量。现在已知总时间(t)，但不知位移，用平均电流乘时间的方法，求平均电流要用到平均电动势除以电阻，就涉及到位移求解。但导体棒做加速度减小的减速运动，没办法直接求位移，所以这个公式没办法直接运用。这里我们可以介绍一个微元思想。

　　如果把导体棒整个运动过程时间分成(n)份，每一份时间叫(\Delta t)，如果(n)足够大，那么每一个时间(\Delta t)就极短，在极短时间内，可以近似认为导体棒速度几乎不变，流过它的电流也不变。对导体棒来讲，在极短时间内安培力对导体棒的冲量是导体棒动量变化的原因。(\Delta p)是极短时间(\Delta t)内导体棒(AB)的动量改变量。因为时间极短，(\Delta t)趋近于(0)，电流(I)不变，(I\Delta t)就等于极短时间内流过导体棒的电量(\Delta q)。把整个过程加起来求和，整个过程的动量改变量就是末动量(0)减去初动量，把每一小段安培力的冲量求和，就得到整个过程总的安培力冲量。

　　因为(BL)不变，(I\Delta t)表示一小段时间的电量，求和后就得到整个回路的总电量，所以(q = \frac{mv_0}{BL})。我们也可以用动量定理来求解导体棒的电量，也就求解到了流过大(R)的电量。在这个求解中我们发现安培力冲量的大小最终写成表达式(BqL)。怎么理解这个表达式呢？我们不妨从图像角度来理解。已知速度 - 时间图像是加速度减小的减速运动，如果把纵轴坐标由速度(v)换成电流(i)，因为电流(i = \frac{BLv}{R + r})，这些量不变，所以电流和速度成正比，(v - t)图像就可以变换成(i - t)图像。在速度 - 时间图像上，面积表示位移，而在(i - t)图像上，面积代表这段时间内流过回路的电量。再做一个变化，把纵坐标电流(i)变成安培力，描绘安培力大小随时间的变化，在原来基础上乘(BL)就变成(BIL)，即安培力。从图像面积可知，在(F - t)图像上面积代表安培力冲量的大小。从(i - t)图像变到(F - t)图像只是纵坐标扩大了(BL)倍，所以安培力的冲量等于(BL)乘以(i - t)图像的面积，也就是电量(BqL)。当然这个电量(q)也可以写成平均电流乘时间，只不过(i - t)图像上的平均电流没办法直接获得而已。所以说安培力的冲量可以写成(BqL)，也可以写成(B\overline{I}Lt)。