师：同学们好，这节课我们讨论电磁感应的第二讲——法拉第电磁感应定律。上节课我们主要探讨了电磁感应的两个问题：感应电流产生的条件及感应电流的方向。那么，感应电流的大小怎样定量计算呢？关于这个问题，我们从研究感应电动势入手。

　　由电路相关知识可知，电路中要有电流，导体两端必须存在电压，而这个电压由电源提供。从能量转化的角度而言，电源是将其他形式能量转化为电能的装置，感应电动势是衡量这种转化本领的物理量。

　　在电磁感应现象中，我们以切割模型和磁变模型这两个典型模型为例。当导体棒AB向右运动，切割磁感线，回路中有感应电流产生；当条形磁铁拔出螺线管，螺线管内磁通量减少，回路中也有感应电流产生。这两种情况都有电流产生，必然也存在电动势，我们把电磁感应现象中产生的电动势称为感应电动势，而产生感应电动势的那部分导体就相当于电源。例如，第二张图中导体棒AB向右切割磁感线产生电动势，所以A、B就相当于电源；图3中螺线管内磁通量发生变化，产生感应电动势，所以螺线管就相当于电源。

　　请大家尝试判断一下下列两图中等效电源的哪一端相当于电源的正极。我们看图一中，切割磁感线的AB相当于电源，由右手定则可以判定，流过AB导体棒的电流应该是从B端流向A端。根据电路知识，在电源内部，电流总是从负极流向正极，所以A端等效于电源的正极，B端等效为电源的负极。类似地，当磁铁拔出螺线管时，穿过螺线管的原磁场方向向下，且磁通量在减小，感应磁场要阻碍其减小，所以感应磁场应该是向下的。由安培定则可以判定电流方向，如图所示，而线圈充当电源，电流从负极流向正极，所以B端等效为电源正极，A端等效为电源负极。

　　在解决这两个问题时，关于等效电源极性的判断，依据的是电流的方向，在电源内部，电流总是从负极流向正极。显然，这类问题处理的关键是正确判断感应电流的方向。那么，感应电动势的大小跟哪些因素有关？它的定量表达式是怎样的？关于这个问题，我们从定性与定量两个角度来研究。

　　我们先来看定性实验，实验器材有条形磁铁、螺线管、表头。螺线管与表头构成一个回路。在这个实验中，我们定性地观测感应电动势的大小，实际上是通过表头上电流的大小，即指针的偏转来推断的。因为回路电阻不变，感应电动势越大，流过的电流越大，指针偏角越大，所以我们是通过间接感知电流大小来推断电动势大小。

　　在这个实验中我们发现，当条形磁体插入或者拔出螺线管时，在磁通量改变的情景相同情况下，插入得越快，磁通量变化越快，表头指针偏转越大，也就意味着感应电动势越大。由此我们可以得到定性结论：感应电动势与螺线管内磁通量变化的快慢有关。

　　那么它与线圈的匝数关系呢？我们从逻辑推理角度来讲，当磁铁插入螺线管中时，每一个线圈上都要激发出电动势，n个螺线管的连接就相当于n个电源的串接，所以感应电动势必然与匝数成正比。当然，这只是一个定性的推断，它的定量关系，我们通过定量实验得出。

　　物理学家通过定量实验发现，电路中感应电动势大小与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，我们把这个定律称为法拉第电磁感应定律，其表达式为(E = n\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t})。

　　在这个公式当中，n是指线圈的匝数，(\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t})叫做磁通量的变化率，它描述的是变化的快慢。由于这个公式主要是求感应电动势的大小，所以公式中的(\Delta\varPhi)通常取绝对值。

　　关于这个公式有几点说明：磁通量(\varPhi = B\cdot S)，所以当磁通量变化时，可以是磁场变化引起的，也可以是由于面积变化引起的。如果磁通量变化仅是由于磁场变化而引起的，那么(E)就应该等于(n\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot S)，其中(\frac{\Delta B}{\Delta t})叫做磁场的变化率，描述了磁场变化的快慢；如果磁通量是因为面积变化引起的，则表达式可以写成(E = nB\frac{\Delta S}{\Delta t})；如果在这种情况下磁场和面积都发生改变，则感应电动势(E)就只能写成(n\frac{B_2S_2 - B_1S_1}{\Delta t})，它不等于(n\frac{\Delta B\cdot\Delta S}{\Delta t})。

　　第二，我们比较三个量：磁通量，它描述穿过回路磁感线条数的多少，它与电磁感应没有直接关系；磁通量的变化量(\Delta\varPhi)，它描述的是穿过回路磁通量变化了多少，它是产生感应电动势的条件之一；磁通量变化率(\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t})，它描述的是磁通量变化的快慢，在(\varPhi - t)图像上，表示为图线的斜率，它是决定感应电动势大小的因素之一。

　　这就是我们研究的法拉第电磁感应定律。接下来研究它的一种特殊案例——切割模型，我们现在讨论平动切割。在水平面上有一个固定的光滑线框，导体棒AB的有效切割长度为l，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现在导体棒AB在外力控制下以速度v匀速向右运动切割磁感线，求产生的电动势。

　　这是电磁感应现象当中的一个特例。关于这个电动势的求解，我们先从法拉第电磁感应定律角度来进行。我们假设导体棒运动了(\Delta t)时间，运动到虚线位置处。在这段时间内整个回路增加的面积(\Delta S)等于导体棒长l乘以导体棒所发生的位移(v\Delta t)。那么在这段时间内磁通量的变化(\Delta\varPhi)就应该等于(B\cdot\Delta S)。然后我们把它带入法拉第电磁感应定律当中，可以推出(E =\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t}=BLv)，所以当导体棒在平动切割时，它所产生的感应电动势(E = BLv)。在这个表达式当中，B、l、v三者应该两两垂直。

　　这个推导我们是从法拉第电磁感应定律的角度进行的，还有没有其他角度呢？我们前面讲电磁感应的过程，实际上就是能量转化的过程。所以我们也可以尝试从能量转化角度来推导它切割产生的感应电动势。

　　导体棒向右运动切割磁感应线，在(\Delta t)时间内安培力对导体棒做的负功(W)应该等于(-F\cdot x)，(x)就是导体棒所发生的位移。由于匀速运动，所以(x = v\Delta t)，安培力(F = BIl)。我们知道做功的目的是实现能量的转化，在这个问题情景中，安培力对导体棒做了多少负功，也就意味着有多少的能量转化为回路的电能，所以回路就应该得到了这么多数值的电能。

　　从电路的知识角度来看，在(\Delta t)时间内电源释放的电能(\Delta E = EIt)。因为电能是由安培力做功转化的，所以两者在数值上相等，即(W = \Delta E)，我们消去相同的量(It)，就得到了切割产生的电动势(E = BLv)。

　　如何理解这个表达式呢？我们先来看如何理解表达式当中速度的含义。通过两个案例来分析。下面两个例子当中磁感应强度均为B，导体棒长均为l，请求解两列情景下感应电动势。

　　第一个情景，磁场竖直向下，导体棒长l，它与磁场垂直，某一时刻它的速度为v，与磁感强度成(\theta)角。在这个情景下它的感应电动势多大呢？这时候速度与磁场不垂直，从运动的分解角度看，我们可以把速度分解为水平速度(v_1)和竖直速度(v_2)。我们看(v_2)速度与磁场平行，它不切割磁感线，所以在这个问题中，它的有效切割速度实际上就是(v_1)。因此它所产生的感应电动势(E = Blv_1 = Blv\sin\theta)。所以第一个表达式当中的(v)应该是指垂直磁场的速度，即有效切割速度。

　　第二个情景，导体棒和磁场都在向右运动，磁场的速度是(v_2 = 1)米每秒，导体棒的速度是(v_1 = 3)米每秒，棒长为l，磁感应强度B，求它的感应电动势。

　　我们看这个问题情景中，导体棒和磁场都在运动，所以导体棒相对于磁场的速度应该是向右的(2)米每秒，这也就是它的有效切割速度。所以在(E = BLv)这个公式当中，这个(v)应该指相对于磁场的速度。

　　结合两个案例，我们看公式当中(v)的意义：一是体现切割，应该是指垂直磁场速度；二是体现有效，应该是相对于磁场的速度。

　　接下来看第二个问题，图中半圆环的切割长度l是怎么求呢？同样是个匀强磁场，一个半圆环，当它以速度v在向右匀速运动时，它的有效切割长度多大？它不是一个直导线，那么我们采用割补的思想，这里采用割补思想当中的补，我们补上这个直径。这样的话这个直径和这个半圆环就构成了一个闭合回路。当向右运动时，我们看导体这个直径在切割磁感线，半圆环也在切割磁感线，所以整个回路就相当于有两个电源。

　　第二点，在运动过程中，整个回路的磁通量没有发生改变，所以回路的电流为零，这也就意味着这个半圆环切割所产生的电动势与这个直导线所产生的电动势相互抵消。所以从有效切割长度的意义来讲，这个半圆环在水平向右运动切割磁感线时，它就等效成这个直径在切割。因此对于非直导线来讲，它的有效切割长度实际上应该就等于这两端的连线的长度。在其他问题当中，例如一个优弧、一个三角形框架，它的有效切割长度均为两端连线的长度。

　　这是我们讨论的有效切割长度。在上面的分析当中，我们讨论了感应电动势的两个表达式，一个是法拉第电磁感应定律(E = n\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t})，它的研究对象是整个回路，适用于任何的电磁感应现象；而(E = BLv)只适用于切割模型，它的研究对象是部分导体，即切割磁感应线的部分导体。法拉第电磁感应定律在高中阶段我们主要用它求解平均值，而(E = BLv)主要是用来求解瞬时电动势。