师：同学们，今天我们一起来复习动能定理的应用。首先，看动能定理的表达式：合力做功等于末动能减初动能，即$W_{合}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$ 。运用动能定理解题，基本步骤如下：

　　选取研究对象，确定其运动过程。

　　对研究对象进行受力分析，明确各个力做功情况，包括哪些力做功、做正功还是负功以及做功的大小，算出各个力做功的代数和。

　　明确研究对象在过程始末状态的动能，即初动能和末动能。

　　根据动能定理列方程，求解相关物理量。简而言之，就是抓好两个状态，一个过程。

　　关于动能定理的应用，我们从以下几个方面展开：

　　动能定理在直线运动中的应用。

　　动能定理在曲线运动中的应用。

　　动能定理在图像问题中的应用。

　　动能定理在传送带模型中的应用。

　　我们先来看动能定理在直线运动中的应用。同学们思考这个问题：质量为$M$的木块放在光滑水平面上，质量为$m$的子弹以速度$v_{0}$沿水平方向射中木块，并最终留在木块中，与木块一起以速度$v$运动。已知当子弹相对木块静止时，木块前进的距离为$l$，子弹进入木块的深度是$d$。若木块对子弹的阻力视为恒定，下列关系式正确的是什么？

　　这4个式子都类似动能定理表达式，我们先画出子弹木块的运动示意图。子弹打击木块时，木块往前移动位移$l$，子弹进入木块深度$d$，那么子弹相对于水平面往前移动的距离是$l + d$。

　　因为牛顿第三定律，木块对子弹的作用力跟子弹对木块的作用力大小相等，是一对相互作用力。我们分别对子弹和木块做受力分析，利用动能定理列方程。

　　先对木块列动能定理表达式：子弹对木块的作用力使木块往前运动了$l$的位移，该力做正功，木块动能从0增加到$\frac{1}{2}Mv^{2}$，由此可知A选项正确。

　　再看木块对子弹的作用，它对子弹做负功。对子弹列方程，子弹初动能是$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，末动能与木块共速，为$\frac{1}{2}mv^{2}$ ，可得相应式子，发现D选项去掉负号后符合此式，所以D选项也正确。

　　将这两个式子联立，左右两边分别相加化简，可得到第三个式子，对应的是C选项。所以这道题正确答案是ACD。

　　同学们思考，这最后一个式子能得到什么结论呢？式子右边$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$是子弹一开始具有的初动能，也就是整个系统的初动能；$\frac{1}{2}(M + m)v^{2}$是它们两者最后的动能，做差就是整个过程动能的减少量，即机械能损失量。

　　机械能损失转化成什么能了呢？转化成内能。所以$f \cdot d$（$d$指相对位移），我们得到一个结论：求摩擦生热，即求内能时，可以根据摩擦力乘相对位移来得到。

　　我们再看这样一个练习：水平台上放置一个长为$l$、质量为$m$的均匀木板，木板右端距离平台边缘是$s$，板与平台之间动摩擦因数为$\mu$，重力加速度取$g$。现在对板施加一个水平推力，要使这个板脱离平台，推力做功的最小值是多少？

　　分析可知，当木板重心到达平台边缘时，木板有可能掉下去，这是个临界问题。木板脱离平台时移动的距离是$s + \frac{l}{2}$，推力做的功等于克服摩擦力做的功，摩擦力做功是$\mu mg$乘推动距离，所以推力做功最小值为$\mu mg(s + \frac{l}{2})$，答案选B。

　　接下来看动能定理在曲线运动中的应用。看这个例题：半径为$r$的圆管$BCD$竖直放置，一个可视为质点的质量为$m$的小球，以某一初速从$A$点水平抛出，做平抛运动，恰好从$B$点沿切线方向进入圆管，到达圆管最高点后，再到达$D$点水平射出。已知小球在$D$点对管的下壁压力是$\frac{1}{2}mg$，且$A$和$D$两点在同一水平线上，$BC$弧对应的角度$\theta$是$60$度。我们要求小球在$A$点的初速度大小、在$D$点的速度大小，以及小球在圆管中运动过程中克服阻力做的功。

　　先求小球在$A$点的初速，利用平抛运动知识，将小球运动到$B$点时的竖直速度求出来。因为平抛运动可分解为竖直方向自由落体、水平方向匀速直线运动，根据高度差可求得$B$点竖直分运动速度。求得竖直分速度后，将$B$点速度分解，根据竖直速度可求得水平速度为$\sqrt{gr}$。

　　再求$D$点的速度。在$D$点，小球对管下壁有压力，即小球受到下壁向上的支持力，大小为$\frac{1}{2}mg$。对$D$点小球受力分析，它受重力和支持力，合力向下提供向心力，即$mg - F_{N} = \frac{mv_{D}^{2}}{r}$，由此可求得$D$点速度大小。

　　求小球在圆管内运动过程中克服阻力做的功。因为前面已求出两个速度，确定用动能定理，选小球从$A$点到$D$点全过程列方程。选这个过程是因为$A$、$D$在同一水平线上，重力做功可不考虑。此过程只有阻力做功，设克服阻力做功为$W_{f}$，根据动能定理$-W_{f} = \frac{1}{2}mv_{D}^{2} - \frac{1}{2}mv_{A}^{2}$，可求得$W_{f} = \frac{1}{4}mgr$。

　　我们再看这样一个问题：光滑水平面$AB$与一个半圆形轨道在$B$点平滑连接，轨道位于竖直面内，半径为$r$，质量为$m$的物块静止在水平面上。向左推动物块，使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得速度。当它经过$B$点进入半圆形轨道瞬间，对轨道压力是重力的7倍，之后往上运动，恰好能完成半圆周运动到$C$点。

　　求三个问题：

　　弹簧弹力对物体做的功。

　　物块从$B$到$C$克服阻力做的功。

　　物块离开$C$点后落回到水平面上的动能。

　　先看第一个问题，弹簧弹力对物体做的功等于物体获得的初动能。因为水平面$AB$光滑，可通过求$B$点速度得到初动能。在$B$点，压力为重力的7倍，对物块受力分析，有重力和支持力，$F_{N} - mg = \frac{mv_{B}^{2}}{r}$，可求得$B$点速度，进而求得弹力做的功为$3mgr$，这是逆向思维的运用。