师：同学们，今天我们一起来学习功能关系和能量守恒定律。功是能量转化的量度，也就是说做了多少功，就有多少能量发生转化。比如起重机吊起重物，重力对重物做负功，重物的重力势能就会增加；汽车加速前进，合力对汽车做正功，汽车的动能会增加；撑杆跳运动中，弹力对运动员做正功，运动员的动能增加，而杆的弹性势能减少；运动员扔铅球，运动员对铅球做功，铅球的机械能增加。做功过程必然伴随着能量转化，且能量转化必须通过做功来实现。

　　下面我们研究一个例题。如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球。将小球从与悬点O同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速释放，让它自由摆下，测出小球经过O点下方h处B点时的速度大小为v，不计空气阻力。

　　第一个问题，小球受到的合力做了多少功？要求合力做功，我们先对小球进行受力分析。可以看到小球受到重力和弹簧的弹力，此过程中弹簧弹力是变力。求变力做功怎么办呢？我们可以用动能定理。由动能定理可知，合力做功等于动能变化。小球下摆到B点，其动能增加了$\frac{1}{2}mv^{2}$，所以合力做功就是$\frac{1}{2}mv^{2}$。

　　小球重力势能改变多少呢？我们可通过重力做功和重力势能变化的关系来求解。这个过程中重力做功是$mgh$，做正功，所以重力势能的变化是$-mgh$，负号表示重力势能减少了。

　　那么弹簧的弹性势能改变了多少呢？弹簧弹性势能的改变与弹力做功相关，要求弹簧弹性势能的改变量，就得求弹力做的功，而弹力做功是变力做功，我们可以通过动能定理求得。这样，弹簧的弹性势能增加了$mgh - \frac{1}{2}mv^{2}$。

　　除了这种方法，我们还可以看到小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以也能通过机械能守恒定律求得弹簧弹性势能的增量。这个过程中小球减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和小球增加的动能。

　　若空间存在水平向左恒定风力$f$，弹簧原长为$l$，求小球与弹簧组成的系统机械能改变了多少？对小球而言，受到重力、弹簧弹力和风力作用。由动能定理可知，风力做功加弹力做功，再加上重力做功等于动能变化。而弹力做功、重力做功与能量变化相关，所以我们可以得到这样一个关系式，整理后可以看到风力做的功等于弹性势能变化量加重力势能变化量加动能变化量。这三种能量的变化量之和就是系统的机械能改变量，所以系统机械能的变化量就等于风力做的正功。由于风力是恒力，风力做的正功等于恒力乘以沿风力方向的位移$l$。

　　通过以上分析，我们可以总结出：只有重力或弹力做功的物体系统机械能守恒；存在重力和弹力以外的其他力做功的物体系统机械能不守恒。比如这里的风力做功，系统机械能不守恒，风力做正功$Fl$，系统机械能变化$Fl$，所以其他力做功等于机械能的改变量。

　　接下来我们总结一下功能关系：合外力做功与动能的关系，合外力做正功，动能增加；合外力做负功，动能减少。重力做功与重力势能的关系，重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。弹力做功与弹性势能的关系，弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。重力或弹力以外的其他力做功与机械能的关系，其他力做正功，机械能增加；其他力做负功，机械能减少。

　　通过对功能关系的分析，我们知道用功能关系解决问题时，首先要分析清楚什么力在做功，这个力做正功还是做负功，进而求解能量转化了多少，也可以根据能量转化情况研究力做功问题。特别是分析变力做功时，用功能关系比较简单。

　　对功能关系的研究表明，做功和能量转化是相对应的关系，功是能量转化的量度和原因。下面学以致用，对离地一定高度的物体施加一竖直向上的拉力，物体竖直向上运动的速度 - 时间关系大致如图所示。以地面为零势能面，忽略空气阻力，作出物体的重力势能$E_{P}$、动能$E_{k}$、机械能$E$随位移$x$变化关系的大致图线。

　　通过分析，重物在上升过程中受到重力和竖直向上的拉力，$v - t$图像表明物体做加速度减小的加速运动。要寻找重力势能与位移的关系，我们借助重力做功与重力势能变化的关系，也可以根据重力势能的定义，以地面为零势能参考平面，当物体上升$x$时，其重力势能大小为$mg(h + x)$。由函数关系可知，图线斜率代表重力，$E_{P}$和$x$是一次函数，所以图像是一条倾斜直线。

　　动能和位移的关系，我们通过合力做功与动能变化的关系，合力做功就是$F_{合} \cdot x = ma \cdot x$。从函数关系式可知，$E_{k}$和$x$的斜率与加速度有关。由$v - t$图像知加速度随速度增大而减小，所以$E_{k} - x$图像的斜率减小，做出的图线是一条曲线。

　　机械能变化与其他力做功相关，这里的其他力就是竖直向上的拉力。通过受力分析，拉力满足牛顿第二定律$F - mg = ma$，代入相关式子可得到机械能与位移的关系。在这个关系式中，斜率包含加速度$a$，$a$逐渐减小，所以$E - x$图线是一条曲线，且初始状态机械能不为$0$，不过原点。通过这个题目分析可知，解决图像问题，我们可以通过物理规律寻找函数表达式，利用斜率大致做出函数关系图线。

　　例题2，如图所示，木板$m$静止在光滑水平地面上，其上表面粗糙。木块从其左端以一定初速度向右滑上木板，经过一段时间，二者一起匀速运动，木板对地位移为$x$，木块相对于木板的位移是$s$，木块与木板间的摩擦力恒为$f$。

　　求该过程木块和木板动能总共改变多少？我们可以先分别分析木块和木板的动能改变，再求二者之和。对木块和木板进行受力分析，木块相对于木板向右滑，所以木块受到的滑动摩擦力向左，木板受到的滑动摩擦力向右。

　　对木块分析，由动能定理可知，摩擦力$F_{1}$做功等于木块的动能变化，$F_{1}$做负功，求功时位移是物体的对地位移，物块对地位移等于木板对地位移加上木块相对于木板的位移$s$，所以木块的动能减少了$f(x + s)$。